Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/(-1+(1+x)^(1/3))
-
Límite de (4+5*x+6*x^2)/(-2+3*x^2+7*x)
-
Límite de ((1+5*x)/(-2+5*x))^(-8+3*x)
-
Límite de (5-4/cos(x))^(sin(3*x)^(-2))
-
Expresiones idénticas
- sin(pi*z/(uno + dos *z))/(- uno +z^ dos)
- seno de ( número pi multiplicar por z dividir por (1 más 2 multiplicar por z)) dividir por ( menos 1 más z al cuadrado )
- seno de ( número pi multiplicar por z dividir por (uno más dos multiplicar por z)) dividir por ( menos uno más z en el grado dos)
- sin(pi*z/(1+2*z))/(-1+z2)
- sinpi*z/1+2*z/-1+z2
- sin(pi*z/(1+2*z))/(-1+z²)
- sin(pi*z/(1+2*z))/(-1+z en el grado 2)
- sin(piz/(1+2z))/(-1+z^2)
- sin(piz/(1+2z))/(-1+z2)
- sinpiz/1+2z/-1+z2
- sinpiz/1+2z/-1+z^2
- sin(pi*z dividir por (1+2*z)) dividir por (-1+z^2)
-
Expresiones semejantes
- sin(pi*z/(1+2*z))/(-1-z^2)
- sin(pi*z/(1-2*z))/(-1+z^2)
- sin(pi*z/(1+2*z))/(1+z^2)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)^2*sin(2*x)^3/x
- sin(x)/(u*x)
- sin(-4+x^2)^2/(-1+2^(-2+x))
- sin(2*x)/(-5+sqrt(25+x))
- sin(16*x)^2/asin(3*x)^2
Límite de la función sin(pi*z/(1+2*z))/(-1+z^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / pi*z \\
|sin|-------||
| \1 + 2*z/|
lim |------------|
z->-1+| 2 |
\ -1 + z /
$$\lim_{z \to -1^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right)$$
Limit(sin((pi*z)/(1 + 2*z))/(-1 + z^2), z, -1)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{z \to -1^+} \sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{z \to -1^+}\left(z^{2} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{z \to -1^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{z \to -1^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{z \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d z} \sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{\frac{d}{d z} \left(z^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{z \to -1^+}\left(\frac{\left(- \frac{2 \pi z}{\left(2 z + 1\right)^{2}} + \frac{\pi}{2 z + 1}\right) \cos{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{2 z}\right)$$
=
$$\lim_{z \to -1^+}\left(\frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$\lim_{z \to -1^+}\left(\frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$\frac{\pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{z \to -1^+} \sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{z \to -1^+}\left(z^{2} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{z \to -1^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{z \to -1^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{z \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d z} \sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{\frac{d}{d z} \left(z^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{z \to -1^+}\left(\frac{\left(- \frac{2 \pi z}{\left(2 z + 1\right)^{2}} + \frac{\pi}{2 z + 1}\right) \cos{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{2 z}\right)$$
=
$$\lim_{z \to -1^+}\left(\frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$\lim_{z \to -1^+}\left(\frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$\frac{\pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con z→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{z \to -1^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right) = \frac{\pi}{2}$$
Más detalles con z→-1 a la izquierda
$$\lim_{z \to -1^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right) = \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con z→oo
$$\lim_{z \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con z→0 a la izquierda
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con z→0 a la derecha
$$\lim_{z \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con z→1 a la izquierda
$$\lim_{z \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con z→1 a la derecha
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con z→-oo
Más detalles con z→-1 a la izquierda
$$\lim_{z \to -1^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right) = \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con z→oo
$$\lim_{z \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con z→0 a la izquierda
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con z→0 a la derecha
$$\lim_{z \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con z→1 a la izquierda
$$\lim_{z \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con z→1 a la derecha
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con z→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / pi*z \\
|sin|-------||
| \1 + 2*z/|
lim |------------|
z->-1+| 2 |
\ -1 + z /
$$\lim_{z \to -1^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right)$$
pi -- 2
$$\frac{\pi}{2}$$
/ / pi*z \\
|sin|-------||
| \1 + 2*z/|
lim |------------|
z->-1-| 2 |
\ -1 + z /
$$\lim_{z \to -1^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi z}{2 z + 1} \right)}}{z^{2} - 1}\right)$$
pi -- 2
$$\frac{\pi}{2}$$
= 1.5707963267949
= 1.5707963267949