Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- (- uno +cos(seis *x))/x^ dos
- ( menos 1 más coseno de (6 multiplicar por x)) dividir por x al cuadrado
- ( menos uno más coseno de (seis multiplicar por x)) dividir por x en el grado dos
- (-1+cos(6*x))/x2
- -1+cos6*x/x2
- (-1+cos(6*x))/x²
- (-1+cos(6*x))/x en el grado 2
- (-1+cos(6x))/x^2
- (-1+cos(6x))/x2
- -1+cos6x/x2
- -1+cos6x/x^2
- (-1+cos(6*x)) dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- (1+cos(6*x))/x^2
- (-1-cos(6*x))/x^2
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(sqrt(x))/x
- cos(x)/(1-sin(x))
- cos(4*x)*cot(5*x)*tan(3*x)/(cos(7*x)*cot(7*x)*sin(6*x))
- cos(x)/(1+x)
- cos(sqrt(x))
Límite de la función (-1+cos(6*x))/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/-1 + cos(6*x)\
lim |-------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
Limit((-1 + cos(6*x))/x^2, x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$- 2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x}\right)\right)^{2}$$
Sustituimos
$$u = 3 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
=
$$3 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$- 2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x}\right)\right)^{2} = - 2 \left(3 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{2}$$
=
$$- 2 \cdot 3^{2}$$
=
$$-18$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = -18$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$- 2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x}\right)\right)^{2}$$
Sustituimos
$$u = 3 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
=
$$3 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$- 2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x}\right)\right)^{2} = - 2 \left(3 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{2}$$
=
$$- 2 \cdot 3^{2}$$
=
$$-18$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = -18$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cos{\left(6 x \right)} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\cos{\left(6 x \right)} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{3 \sin{\left(6 x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(6 x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x}{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 18 \cos{\left(6 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} -18$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} -18$$
=
$$-18$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cos{\left(6 x \right)} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\cos{\left(6 x \right)} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{3 \sin{\left(6 x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(6 x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x}{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 18 \cos{\left(6 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} -18$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} -18$$
=
$$-18$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/-1 + cos(6*x)\
lim |-------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
-18
$$-18$$
= -18
/-1 + cos(6*x)\
lim |-------------|
x->0-| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
-18
$$-18$$
= -18
= -18
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = -18$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = -18$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = -1 + \cos{\left(6 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = -1 + \cos{\left(6 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = -18$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = -1 + \cos{\left(6 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = -1 + \cos{\left(6 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo