Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos -x)/(- uno +x^ dos)
- (x al cuadrado menos x) dividir por ( menos 1 más x al cuadrado )
- (x en el grado dos menos x) dividir por ( menos uno más x en el grado dos)
- (x2-x)/(-1+x2)
- x2-x/-1+x2
- (x²-x)/(-1+x²)
- (x en el grado 2-x)/(-1+x en el grado 2)
- x^2-x/-1+x^2
- (x^2-x) dividir por (-1+x^2)
-
Expresiones semejantes
- (x^2-x)/(-1-x^2)
- (x^2-x)/(1+x^2)
- (x^2+x)/(-1+x^2)
Límite de la función (x^2-x)/(-1+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| x - x|
lim |-------|
x->oo| 2|
\-1 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right)$$
Limit((x^2 - x)/(-1 + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - u}{1 - u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{1 - 0}{1 - 0^{2}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - u}{1 - u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{1 - 0}{1 - 0^{2}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 1}{2 x}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 1}{2 x}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| x - x|
lim |-------|
x->1+| 2|
\-1 + x /
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
/ 2 \
| x - x|
lim |-------|
x->1-| 2|
\-1 + x /
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
= 0.5
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico