Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x^(1-x)
-
Límite de (1-2/x)^x
-
Límite de -2+x
-
Límite de x^2/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (cinco +x^ dos)/(veinticinco -x^ dos)
- (5 más x al cuadrado ) dividir por (25 menos x al cuadrado )
- (cinco más x en el grado dos) dividir por (veinticinco menos x en el grado dos)
- (5+x2)/(25-x2)
- 5+x2/25-x2
- (5+x²)/(25-x²)
- (5+x en el grado 2)/(25-x en el grado 2)
- 5+x^2/25-x^2
- (5+x^2) dividir por (25-x^2)
-
Expresiones semejantes
- (5-x^2)/(25-x^2)
- (5+x^2)/(25+x^2)
Límite de la función (5+x^2)/(25-x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
| 5 + x |
lim |-------|
x->oo| 2|
\25 - x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right)$$
Limit((5 + x^2)/(25 - x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x^{2}}}{-1 + \frac{25}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x^{2}}}{-1 + \frac{25}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u^{2} + 1}{25 u^{2} - 1}\right)$$
=
$$\frac{5 \cdot 0^{2} + 1}{-1 + 25 \cdot 0^{2}} = -1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x^{2}}}{-1 + \frac{25}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x^{2}}}{-1 + \frac{25}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u^{2} + 1}{25 u^{2} - 1}\right)$$
=
$$\frac{5 \cdot 0^{2} + 1}{-1 + 25 \cdot 0^{2}} = -1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right) = -1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 5\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(25 - x^{2}\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(25 - x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 5\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(25 - x^{2}\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(25 - x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 5}{25 - x^{2}}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo