Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin^{2}{\left(3 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x^{3}}{\tan{\left(3 x \right)}}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)} \tan{\left(3 x \right)}}{6 x^{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)} \tan{\left(3 x \right)}}{6 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(3 x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{6 x^{3}}{\tan{\left(3 x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\frac{6 x^{3} \left(- 3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} - 3\right)}{\tan^{2}{\left(3 x \right)}} + \frac{18 x^{2}}{\tan{\left(3 x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \sin{\left(3 x \right)}}{\frac{6 x^{3} \left(- 3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} - 3\right)}{\tan^{2}{\left(3 x \right)}} + \frac{18 x^{2}}{\tan{\left(3 x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \sin{\left(3 x \right)}}{\frac{6 x^{3} \left(- 3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} - 3\right)}{\tan^{2}{\left(3 x \right)}} + \frac{18 x^{2}}{\tan{\left(3 x \right)}}}\right)$$
=
$$\frac{9}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)