Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de (-10+x^2+3*x)/(-2-5*x+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(nueve -x^ dos)+x/ dos
- raíz cuadrada de (9 menos x al cuadrado ) más x dividir por 2
- raíz cuadrada de (nueve menos x en el grado dos) más x dividir por dos
- √(9-x^2)+x/2
- sqrt(9-x2)+x/2
- sqrt9-x2+x/2
- sqrt(9-x²)+x/2
- sqrt(9-x en el grado 2)+x/2
- sqrt9-x^2+x/2
- sqrt(9-x^2)+x dividir por 2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(9-x^2)-x/2
- sqrt(9+x^2)+x/2
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+x^2)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(x)-x
- sqrt(x^2-x)
- sqrt(1+x+x^2)-x
Límite de la función sqrt(9-x^2)+x/2
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________ \
| / 2 x|
lim |\/ 9 - x + -|
x->oo\ 2/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right)$$
Limit(sqrt(9 - x^2) + x/2, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$- \frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right) \left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right)}{- \frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(- \frac{x}{2}\right)^{2} + \left(\sqrt{9 - x^{2}}\right)^{2}}{- \frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 - \frac{5 x^{2}}{4}}{- \frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 - \frac{5 x^{2}}{4}}{- \frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{5 x}{4} + \frac{9}{x}}{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{5 x}{4} + \frac{9}{x}}{\sqrt{\frac{9 - x^{2}}{x^{2}}} - \frac{1}{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{5 x}{4} + \frac{9}{x}}{\sqrt{-1 + \frac{9}{x^{2}}} - \frac{1}{2}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{5 x}{4} + \frac{9}{x}}{\sqrt{-1 + \frac{9}{x^{2}}} - \frac{1}{2}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{9 u - \frac{5}{4 u}}{\sqrt{9 u^{2} - 1} - \frac{1}{2}}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 9 - \frac{5}{0 \cdot 4}}{- \frac{1}{2} + \sqrt{-1 + 9 \cdot 0^{2}}} = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + 2 i \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + 2 i \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$- \frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right) \left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right)}{- \frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(- \frac{x}{2}\right)^{2} + \left(\sqrt{9 - x^{2}}\right)^{2}}{- \frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 - \frac{5 x^{2}}{4}}{- \frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 - \frac{5 x^{2}}{4}}{- \frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{5 x}{4} + \frac{9}{x}}{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{5 x}{4} + \frac{9}{x}}{\sqrt{\frac{9 - x^{2}}{x^{2}}} - \frac{1}{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{5 x}{4} + \frac{9}{x}}{\sqrt{-1 + \frac{9}{x^{2}}} - \frac{1}{2}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{5 x}{4} + \frac{9}{x}}{\sqrt{-1 + \frac{9}{x^{2}}} - \frac{1}{2}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{9 u - \frac{5}{4 u}}{\sqrt{9 u^{2} - 1} - \frac{1}{2}}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 9 - \frac{5}{0 \cdot 4}}{- \frac{1}{2} + \sqrt{-1 + 9 \cdot 0^{2}}} = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + 2 i \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + 2 i \right)}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + 2 i \right)}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right) = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right) = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + 2 i \right)}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right) = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right) = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2} + \sqrt{9 - x^{2}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + 2 i \right)}$$
Más detalles con x→-oo