Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- (- uno +sqrt(uno +x))/(dos *x)
- ( menos 1 más raíz cuadrada de (1 más x)) dividir por (2 multiplicar por x)
- ( menos uno más raíz cuadrada de (uno más x)) dividir por (dos multiplicar por x)
- (-1+√(1+x))/(2*x)
- (-1+sqrt(1+x))/(2x)
- -1+sqrt1+x/2x
- (-1+sqrt(1+x)) dividir por (2*x)
-
Expresiones semejantes
- (-1-sqrt(1+x))/(2*x)
- (1+sqrt(1+x))/(2*x)
- (-1+sqrt(1-x))/(2*x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)/(100+x)
- sqrt(4+n)-sqrt(-1+n)
- sqrt(7)*(sqrt(7-x)-sqrt(7+x))/(7*x)
- sqrt(2+n)/sqrt(n)
- sqrt(1-cos(x^2))/(1-cos(x))
Límite de la función (-1+sqrt(1+x))/(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ _______\
|-1 + \/ 1 + x |
lim |--------------|
x->0+\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right)$$
Limit((-1 + sqrt(1 + x))/((2*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + \frac{1}{2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x} \left(\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + \frac{1}{2}\right)}{\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\frac{1}{4 \left(\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + \frac{1}{2}\right)}$$
=
$$\frac{1}{4 \left(\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + \frac{1}{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{4 \left(\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + \frac{1}{2}\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{4}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + \frac{1}{2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x} \left(\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + \frac{1}{2}\right)}{\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\frac{1}{4 \left(\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + \frac{1}{2}\right)}$$
=
$$\frac{1}{4 \left(\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + \frac{1}{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{4 \left(\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + \frac{1}{2}\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{4}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 1} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{4 \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{4}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{4}$$
=
$$\frac{1}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 1} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{4 \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{4}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{4}$$
=
$$\frac{1}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ _______\
|-1 + \/ 1 + x |
lim |--------------|
x->0+\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right)$$
1/4
$$\frac{1}{4}$$
= 0.25
/ _______\
|-1 + \/ 1 + x |
lim |--------------|
x->0-\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right)$$
1/4
$$\frac{1}{4}$$
= 0.25
= 0.25
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right) = \frac{1}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right) = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right) = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right) = \frac{1}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right) = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right) = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{2 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico