Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x^2*log(x)
-
Límite de (3-sqrt(5+x))/(1-sqrt(5-x))
-
Límite de x^2
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- ((uno +x^ dos)/(- dos +x^ dos))^(x^ dos)
- ((1 más x al cuadrado ) dividir por ( menos 2 más x al cuadrado )) en el grado (x al cuadrado )
- ((uno más x en el grado dos) dividir por ( menos dos más x en el grado dos)) en el grado (x en el grado dos)
- ((1+x2)/(-2+x2))(x2)
- 1+x2/-2+x2x2
- ((1+x²)/(-2+x²))^(x²)
- ((1+x en el grado 2)/(-2+x en el grado 2)) en el grado (x en el grado 2)
- 1+x^2/-2+x^2^x^2
- ((1+x^2) dividir por (-2+x^2))^(x^2)
-
Expresiones semejantes
- ((1+x^2)/(2+x^2))^(x^2)
- ((1-x^2)/(-2+x^2))^(x^2)
- ((1+x^2)/(-2-x^2))^(x^2)
Límite de la función ((1+x^2)/(-2+x^2))^(x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
\x /
/ 2\
| 1 + x |
lim |-------|
x->oo| 2|
\-2 + x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}}$$
Limit(((1 + x^2)/(-2 + x^2))^(x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{2} - 2\right) + 3}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} - 2}{x^{2} - 2} + \frac{3}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2} - 2}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u + 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3} = e^{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}} = e^{3}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{2} - 2\right) + 3}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} - 2}{x^{2} - 2} + \frac{3}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2} - 2}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u + 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3} = e^{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}} = e^{3}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}} = e^{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}} = -2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}} = -2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}} = e^{3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}} = -2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}} = -2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2}\right)^{x^{2}} = e^{3}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico