Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- (dos +x)^ dos /(tres +x)^ dos
- (2 más x) al cuadrado dividir por (3 más x) al cuadrado
- (dos más x) en el grado dos dividir por (tres más x) en el grado dos
- (2+x)2/(3+x)2
- 2+x2/3+x2
- (2+x)²/(3+x)²
- (2+x) en el grado 2/(3+x) en el grado 2
- 2+x^2/3+x^2
- (2+x)^2 dividir por (3+x)^2
-
Expresiones semejantes
- (2+x)^2/(3-x)^2
- (2-x)^2/(3+x)^2
Límite de la función (2+x)^2/(3+x)^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|(2 + x) |
lim |--------|
x->oo| 2|
\(3 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right)$$
Limit((2 + x)^2/(3 + x)^2, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 u^{2} + 4 u + 1}{9 u^{2} + 6 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 4 + 4 \cdot 0^{2} + 1}{0 \cdot 6 + 9 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 u^{2} + 4 u + 1}{9 u^{2} + 6 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 4 + 4 \cdot 0^{2} + 1}{0 \cdot 6 + 9 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 2\right)^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 3\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)^{2}}{\frac{d}{d x} \left(x + 3\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 4}{2 x + 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 2\right)^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 3\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)^{2}}{\frac{d}{d x} \left(x + 3\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 4}{2 x + 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = \frac{4}{9}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = \frac{4}{9}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = \frac{9}{16}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = \frac{9}{16}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = \frac{4}{9}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = \frac{4}{9}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = \frac{9}{16}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = \frac{9}{16}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico