$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(4 x + \left(x^{2} + 5\right) \right)}}{2} - 2 \operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(4 x + \left(x^{2} + 5\right) \right)}}{2} - 2 \operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}\right) = - 2 \operatorname{atan}{\left(2 \right)} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(4 x + \left(x^{2} + 5\right) \right)}}{2} - 2 \operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}\right) = - 2 \operatorname{atan}{\left(2 \right)} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(4 x + \left(x^{2} + 5\right) \right)}}{2} - 2 \operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}\right) = - 2 \operatorname{atan}{\left(3 \right)} + \frac{\log{\left(10 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(4 x + \left(x^{2} + 5\right) \right)}}{2} - 2 \operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}\right) = - 2 \operatorname{atan}{\left(3 \right)} + \frac{\log{\left(10 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(4 x + \left(x^{2} + 5\right) \right)}}{2} - 2 \operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo