Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} e^{2} + x e^{2} + e^{x}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} e^{2}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{e^{2} x^{2}} + \left(-1 + \frac{1}{x}\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(1 - x\right) e^{2} + e^{x}}{x^{2} e^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} e^{2} + x e^{2} + e^{x}\right)}{\frac{d}{d x} x^{2} e^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x e^{2} + e^{x} + e^{2}}{2 x e^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x e^{2} + e^{x} + e^{2}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x e^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - 2 e^{2}}{2 e^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - 2 e^{2}}{2 e^{2}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)