Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Límite de sin(5*x)/(2*x)
-
Expresiones idénticas
- (uno +x^ tres + dos *x^ cuatro)/(x^ cuatro + tres *x^ dos)
- (1 más x al cubo más 2 multiplicar por x en el grado 4) dividir por (x en el grado 4 más 3 multiplicar por x al cuadrado )
- (uno más x en el grado tres más dos multiplicar por x en el grado cuatro) dividir por (x en el grado cuatro más tres multiplicar por x en el grado dos)
- (1+x3+2*x4)/(x4+3*x2)
- 1+x3+2*x4/x4+3*x2
- (1+x³+2*x⁴)/(x⁴+3*x²)
- (1+x en el grado 3+2*x en el grado 4)/(x en el grado 4+3*x en el grado 2)
- (1+x^3+2x^4)/(x^4+3x^2)
- (1+x3+2x4)/(x4+3x2)
- 1+x3+2x4/x4+3x2
- 1+x^3+2x^4/x^4+3x^2
- (1+x^3+2*x^4) dividir por (x^4+3*x^2)
-
Expresiones semejantes
- (1+x^3+2*x^4)/(x^4-3*x^2)
- (1-x^3+2*x^4)/(x^4+3*x^2)
- (1+x^3-2*x^4)/(x^4+3*x^2)
Límite de la función (1+x^3+2*x^4)/(x^4+3*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 4\
|1 + x + 2*x |
lim |-------------|
x->oo| 4 2 |
\ x + 3*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right)$$
Limit((1 + x^3 + 2*x^4)/(x^4 + 3*x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{1 + \frac{3}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{1 + \frac{3}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{4} + u + 2}{3 u^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{4} + 2}{3 \cdot 0^{2} + 1} = 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{1 + \frac{3}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{1 + \frac{3}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{4} + u + 2}{3 u^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{4} + 2}{3 \cdot 0^{2} + 1} = 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right) = 2$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{4} + x^{3} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 3 x^{2}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + x^{3} + 1}{x^{2} \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{4} + x^{3} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 3 x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{3} + 3 x^{2}}{4 x^{3} + 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(8 x^{3} + 3 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x^{3} + 6 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{24 x^{2} + 6 x}{12 x^{2} + 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(24 x^{2} + 6 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(12 x^{2} + 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{48 x + 6}{24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(48 x + 6\right)}{\frac{d}{d x} 24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 2$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 2$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{4} + x^{3} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 3 x^{2}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + x^{3} + 1}{x^{2} \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{4} + x^{3} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 3 x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{3} + 3 x^{2}}{4 x^{3} + 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(8 x^{3} + 3 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x^{3} + 6 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{24 x^{2} + 6 x}{12 x^{2} + 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(24 x^{2} + 6 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(12 x^{2} + 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{48 x + 6}{24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(48 x + 6\right)}{\frac{d}{d x} 24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 2$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 2$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right) = 2$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{4} + \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 3 x^{2}}\right) = 2$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico