Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+} \operatorname{atan}{\left(x^{2} + 5 x + 4 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{3} + x^{2} - 64 x - 64\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 x + \left(x^{2} + 4\right) \right)}}{- 64 x + \left(x^{3} + \left(x^{2} - 64\right)\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} + 5 x + 4 \right)}}{x^{3} + x^{2} - 64 x - 64}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(x^{2} + 5 x + 4 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + x^{2} - 64 x - 64\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x + 5}{\left(\left(x^{2} + 5 x + 4\right)^{2} + 1\right) \left(3 x^{2} + 2 x - 64\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3}{3 x^{2} + 2 x - 64}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3}{3 x^{2} + 2 x - 64}\right)$$
=
$$- \frac{1}{21}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)