$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{8 x}\right)$$
Limit(sin(3*x)/((8*x)), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite $$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{8 x}\right)$$ Sustituimos $$u = 3 x$$ entonces $$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{8 x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{8 u}\right)$$ = $$\frac{3 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{8}$$ El límite $$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$ hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es: $$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{8 x}\right) = \frac{3}{8}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{8 x}\right) = 0$$ $$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{8 x}\right) = \frac{3}{8}$$ Más detalles con x→0 a la izquierda $$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{8 x}\right) = \frac{3}{8}$$ Más detalles con x→0 a la derecha $$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{8 x}\right) = \frac{\sin{\left(3 \right)}}{8}$$ Más detalles con x→1 a la izquierda $$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{8 x}\right) = \frac{\sin{\left(3 \right)}}{8}$$ Más detalles con x→1 a la derecha $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{8 x}\right) = 0$$ Más detalles con x→-oo