Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- (tres + nueve *x+ nueve *x^ dos)/(cuatro +x^ dos - tres *x)
- (3 más 9 multiplicar por x más 9 multiplicar por x al cuadrado ) dividir por (4 más x al cuadrado menos 3 multiplicar por x)
- (tres más nueve multiplicar por x más nueve multiplicar por x en el grado dos) dividir por (cuatro más x en el grado dos menos tres multiplicar por x)
- (3+9*x+9*x2)/(4+x2-3*x)
- 3+9*x+9*x2/4+x2-3*x
- (3+9*x+9*x²)/(4+x²-3*x)
- (3+9*x+9*x en el grado 2)/(4+x en el grado 2-3*x)
- (3+9x+9x^2)/(4+x^2-3x)
- (3+9x+9x2)/(4+x2-3x)
- 3+9x+9x2/4+x2-3x
- 3+9x+9x^2/4+x^2-3x
- (3+9*x+9*x^2) dividir por (4+x^2-3*x)
-
Expresiones semejantes
- (3+9*x-9*x^2)/(4+x^2-3*x)
- (3+9*x+9*x^2)/(4+x^2+3*x)
- (3-9*x+9*x^2)/(4+x^2-3*x)
- (3+9*x+9*x^2)/(4-x^2-3*x)
Límite de la función (3+9*x+9*x^2)/(4+x^2-3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|3 + 9*x + 9*x |
lim |--------------|
x->oo| 2 |
\ 4 + x - 3*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right)$$
Limit((3 + 9*x + 9*x^2)/(4 + x^2 - 3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 + \frac{9}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 + \frac{9}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u^{2} + 9 u + 9}{4 u^{2} - 3 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{3 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 9 + 9}{- 0 + 4 \cdot 0^{2} + 1} = 9$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 9$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 + \frac{9}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 + \frac{9}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u^{2} + 9 u + 9}{4 u^{2} - 3 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{3 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 9 + 9}{- 0 + 4 \cdot 0^{2} + 1} = 9$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 9$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + 3 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{3} - x + \frac{4}{3}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{2}}{3} - x + \frac{4}{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 3}{\frac{2 x}{3} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 3}{\frac{2 x}{3} - 1}\right)$$
=
$$9$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + 3 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{3} - x + \frac{4}{3}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{2}}{3} - x + \frac{4}{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 3}{\frac{2 x}{3} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 3}{\frac{2 x}{3} - 1}\right)$$
=
$$9$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 9$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{21}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{21}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 9$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{21}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{21}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x^{2} + \left(9 x + 3\right)}{- 3 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 9$$
Más detalles con x→-oo