Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- ((- cuatro + tres *x)/(dos + tres *x))^(uno / tres +x)
- (( menos 4 más 3 multiplicar por x) dividir por (2 más 3 multiplicar por x)) en el grado (1 dividir por 3 más x)
- (( menos cuatro más tres multiplicar por x) dividir por (dos más tres multiplicar por x)) en el grado (uno dividir por tres más x)
- ((-4+3*x)/(2+3*x))(1/3+x)
- -4+3*x/2+3*x1/3+x
- ((-4+3x)/(2+3x))^(1/3+x)
- ((-4+3x)/(2+3x))(1/3+x)
- -4+3x/2+3x1/3+x
- -4+3x/2+3x^1/3+x
- ((-4+3*x) dividir por (2+3*x))^(1 dividir por 3+x)
-
Expresiones semejantes
- ((-4+3*x)/(2+3*x))^(1/3-x)
- ((4+3*x)/(2+3*x))^(1/3+x)
- ((-4-3*x)/(2+3*x))^(1/3+x)
- ((-4+3*x)/(2-3*x))^(1/3+x)
Límite de la función ((-4+3*x)/(2+3*x))^(1/3+x)
Solución
Ha introducido
[src]
1/3 + x
/-4 + 3*x\
lim |--------|
x->oo\2 + 3*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}}$$
Limit(((-4 + 3*x)/(2 + 3*x))^(1/3 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 2\right) - 6}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{6}{3 x + 2} + \frac{3 x + 2}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 2}{-6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\sqrt[3]{1 + \frac{1}{u}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{1 + \frac{1}{u}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 2\right) - 6}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{6}{3 x + 2} + \frac{3 x + 2}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 2}{-6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\sqrt[3]{1 + \frac{1}{u}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{1 + \frac{1}{u}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}} = e^{-2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}} = - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{50} - \frac{\sqrt{3} \cdot 5^{\frac{2}{3}} i}{50}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}} = - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{50} - \frac{\sqrt{3} \cdot 5^{\frac{2}{3}} i}{50}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}} = - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{50} - \frac{\sqrt{3} \cdot 5^{\frac{2}{3}} i}{50}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}} = - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{50} - \frac{\sqrt{3} \cdot 5^{\frac{2}{3}} i}{50}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{x + \frac{1}{3}} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico