Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- x/(uno +x)+(uno -x^ dos)/(uno +x^ dos)
- x dividir por (1 más x) más (1 menos x al cuadrado ) dividir por (1 más x al cuadrado )
- x dividir por (uno más x) más (uno menos x en el grado dos) dividir por (uno más x en el grado dos)
- x/(1+x)+(1-x2)/(1+x2)
- x/1+x+1-x2/1+x2
- x/(1+x)+(1-x²)/(1+x²)
- x/(1+x)+(1-x en el grado 2)/(1+x en el grado 2)
- x/1+x+1-x^2/1+x^2
- x dividir por (1+x)+(1-x^2) dividir por (1+x^2)
-
Expresiones semejantes
- x/(1+x)+(1-x^2)/(1-x^2)
- x/(1+x)+(1+x^2)/(1+x^2)
- x/(1-x)+(1-x^2)/(1+x^2)
- x/(1+x)-(1-x^2)/(1+x^2)
Límite de la función x/(1+x)+(1-x^2)/(1+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
| x 1 - x |
lim |----- + ------|
x->oo|1 + x 2|
\ 1 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}\right)$$
Limit(x/(1 + x) + (1 - x^2)/(1 + x^2), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + 2 x + 1\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + x^{2} + x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x^{2} + 1\right) + \left(1 - x^{2}\right) \left(x + 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 2 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + x^{2} + x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - 2 x}{3 x^{2} + 2 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - 2 x}{3 x^{2} + 2 x + 1}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + 2 x + 1\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + x^{2} + x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x^{2} + 1\right) + \left(1 - x^{2}\right) \left(x + 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 2 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + x^{2} + x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - 2 x}{3 x^{2} + 2 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - 2 x}{3 x^{2} + 2 x + 1}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo