Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- (uno -cos(ocho *x))/(dos *x^ dos)
- (1 menos coseno de (8 multiplicar por x)) dividir por (2 multiplicar por x al cuadrado )
- (uno menos coseno de (ocho multiplicar por x)) dividir por (dos multiplicar por x en el grado dos)
- (1-cos(8*x))/(2*x2)
- 1-cos8*x/2*x2
- (1-cos(8*x))/(2*x²)
- (1-cos(8*x))/(2*x en el grado 2)
- (1-cos(8x))/(2x^2)
- (1-cos(8x))/(2x2)
- 1-cos8x/2x2
- 1-cos8x/2x^2
- (1-cos(8*x)) dividir por (2*x^2)
-
Expresiones semejantes
- (1+cos(8*x))/(2*x^2)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)*sin(x)
- cos(2/x)
- cos(m/x)^x
- cos(2*x)/sin(3*x)
- cos(x)*log(pi-2*x)
Límite de la función (1-cos(8*x))/(2*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/1 - cos(8*x)\
lim |------------|
x->0+| 2 |
\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
Limit((1 - cos(8*x))/((2*x^2)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{x}\right)\right)^{2}$$
Sustituimos
$$u = 4 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 \sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
=
$$4 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{x}\right)\right)^{2} = \left(4 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{2}$$
=
$$4^{2}$$
=
$$16$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 16$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{x}\right)\right)^{2}$$
Sustituimos
$$u = 4 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 \sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
=
$$4 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{x}\right)\right)^{2} = \left(4 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{2}$$
=
$$4^{2}$$
=
$$16$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 16$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(8 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(8 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(8 x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(8 x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{x}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(16 \cos{\left(8 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 16$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 16$$
=
$$16$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(8 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(8 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(8 x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(8 x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{x}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(16 \cos{\left(8 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 16$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 16$$
=
$$16$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 16$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 16$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(8 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(8 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 16$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(8 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(8 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/1 - cos(8*x)\
lim |------------|
x->0+| 2 |
\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
16
$$16$$
= 16.0
/1 - cos(8*x)\
lim |------------|
x->0-| 2 |
\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(8 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
16
$$16$$
= 16.0
= 16.0
Gráfico