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sin(x/3)/x
Límite de la función/ sin(x/3)/ sin(x/3)/x

Límite de la función sin(x/3)/x

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /   /x\\
     |sin|-||
     |   \3/|
 lim |------|
x->0+\  x   /
lim⁡x→0+(sin⁡(x3)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) 
Limit(sin(x/3)/x, x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→0+(sin⁡(x3)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right)
Sustituimos
u=x3u = \frac{x}{3}
entonces
lim⁡x→0+(sin⁡(x3)x)=lim⁡u→0+(sin⁡(u)3u)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{3 u}\right)
=
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)3\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{3}
El límite
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
hay el primer límite, es igual a 1.

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→0+(sin⁡(x3)x)=13\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = \frac{1}{3}
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+sin⁡(x3)=0\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+x=0\lim_{x \to 0^+} x = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(sin⁡(x3)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right)
=
lim⁡x→0+(ddxsin⁡(x3)ddxx)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)
=
lim⁡x→0+(cos⁡(x3)3)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}\right)
=
lim⁡x→0+13\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{3}
=
lim⁡x→0+13\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{3}
=
13\frac{1}{3}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.5-0.5
Trazar el gráfico
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(sin⁡(x3)x)=13\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = \frac{1}{3}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(sin⁡(x3)x)=13\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = \frac{1}{3}
lim⁡x→∞(sin⁡(x3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(sin⁡(x3)x)=sin⁡(13)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = \sin{\left(\frac{1}{3} \right)}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(sin⁡(x3)x)=sin⁡(13)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = \sin{\left(\frac{1}{3} \right)}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(sin⁡(x3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
1/3
13\frac{1}{3}
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /   /x\\
     |sin|-||
     |   \3/|
 lim |------|
x->0+\  x   /
lim⁡x→0+(sin⁡(x3)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) 
1/3
13\frac{1}{3} 
= 0.333333333333333
     /   /x\\
     |sin|-||
     |   \3/|
 lim |------|
x->0-\  x   /
lim⁡x→0−(sin⁡(x3)x)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) 
1/3
13\frac{1}{3} 
= 0.333333333333333
= 0.333333333333333
Respuesta numérica [src] 
0.333333333333333
0.333333333333333
Gráfico
Límite de la función sin(x/3)/x
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