Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{6} + 5 x - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(7 x^{6} + 7\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x + \left(x^{6} - 1\right)}{7 x^{6} + 7}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{6} + 5 x - 1}{7 \left(x^{6} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{6} + 5 x - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(7 x^{6} + 7\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x^{5} + 5}{42 x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x^{5} + 5\right)}{\frac{d}{d x} 42 x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{7}$$
=
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{7}$$
=
$$\frac{1}{7}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)