Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x \sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x \sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{- \frac{3 x \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}} + \frac{2 x \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{- \frac{3 x \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}} + \frac{2 x \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{- \frac{3 x \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}} + \frac{2 x \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)