Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - e^{2 x}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{2 x} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{-1 + e^{- 2 x}}{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(1 - e^{2 x}\right) e^{- 2 x}}{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - e^{2 x}\right)}{\frac{d}{d x} e^{2 x} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 e^{2 x}}{2 e^{2 x} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)} + \frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2}{2 e^{2 x} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)} + \frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2}{2 e^{2 x} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)} + \frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}}\right)$$
=
$$- \frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)