Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de ((5-x)/(6-x))^(2+x)
-
Límite de (3-sqrt(x))/(4-sqrt(-2+2*x))
- Límite de (2+x^3+4*x^2+5*x)/(-2+x^3-3*x)
-
Expresiones idénticas
- (tres + nueve *x^ dos)/(uno +x)^ dos
- (3 más 9 multiplicar por x al cuadrado ) dividir por (1 más x) al cuadrado
- (tres más nueve multiplicar por x en el grado dos) dividir por (uno más x) en el grado dos
- (3+9*x2)/(1+x)2
- 3+9*x2/1+x2
- (3+9*x²)/(1+x)²
- (3+9*x en el grado 2)/(1+x) en el grado 2
- (3+9x^2)/(1+x)^2
- (3+9x2)/(1+x)2
- 3+9x2/1+x2
- 3+9x^2/1+x^2
- (3+9*x^2) dividir por (1+x)^2
-
Expresiones semejantes
- (3+9*x^2)/(1-x)^2
- (3-9*x^2)/(1+x)^2
Límite de la función (3+9*x^2)/(1+x)^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|3 + 9*x |
lim |--------|
x->oo| 2|
\(1 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
Limit((3 + 9*x^2)/(1 + x)^2, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 + \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 + \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u^{2} + 9}{u^{2} + 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{3 \cdot 0^{2} + 9}{0^{2} + 0 \cdot 2 + 1} = 9$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 9$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 + \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 + \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u^{2} + 9}{u^{2} + 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{3 \cdot 0^{2} + 9}{0^{2} + 0 \cdot 2 + 1} = 9$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 9$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(3 x^{2} + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x}{\frac{2 x}{3} + \frac{2}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x}{\frac{2 x}{3} + \frac{2}{3}}\right)$$
=
$$9$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(3 x^{2} + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x}{\frac{2 x}{3} + \frac{2}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x}{\frac{2 x}{3} + \frac{2}{3}}\right)$$
=
$$9$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 9$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 9$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x^{2} + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 9$$
Más detalles con x→-oo