Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 2 x^{2} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} + x^{3} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + \left(x^{4} - 1\right)}{x^{5} + \left(x^{3} + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 2 x^{2} - 1}{x^{5} + x^{3} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 2 x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{5} + x^{3} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + 4 x}{5 x^{4} + 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{3} + 4 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(5 x^{4} + 3 x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{2} + 4}{20 x^{3} + 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(12 x^{2} + 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(20 x^{3} + 6 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{24 x}{60 x^{2} + 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 24 x}{\frac{d}{d x} \left(60 x^{2} + 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{5 x}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)