Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- uno +(dos +x^ dos)^ tres /x^ cuatro
- 1 más (2 más x al cuadrado ) al cubo dividir por x en el grado 4
- uno más (dos más x en el grado dos) en el grado tres dividir por x en el grado cuatro
- 1+(2+x2)3/x4
- 1+2+x23/x4
- 1+(2+x²)³/x⁴
- 1+(2+x en el grado 2) en el grado 3/x en el grado 4
- 1+2+x^2^3/x^4
- 1+(2+x^2)^3 dividir por x^4
-
Expresiones semejantes
- 1+(2-x^2)^3/x^4
- 1-(2+x^2)^3/x^4
Límite de la función 1+(2+x^2)^3/x^4
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3\
| / 2\ |
| \2 + x / |
lim |1 + ---------|
x->oo| 4 |
\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{\left(x^{2} + 2\right)^{3}}{x^{4}}\right)$$
Limit(1 + (2 + x^2)^3/x^4, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{6} + 7 x^{4} + 12 x^{2} + 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{4} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{\left(x^{2} + 2\right)^{3}}{x^{4}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)^{3}}{x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{6} + 7 x^{4} + 12 x^{2} + 8\right)}{\frac{d}{d x} x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x^{5} + 28 x^{3} + 24 x}{4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x^{5} + 28 x^{3} + 24 x\right)}{\frac{d}{d x} 4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{30 x^{4} + 84 x^{2} + 24}{12 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(30 x^{4} + 84 x^{2} + 24\right)}{\frac{d}{d x} 12 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{120 x^{3} + 168 x}{24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(120 x^{3} + 168 x\right)}{\frac{d}{d x} 24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(15 x^{2} + 7\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(15 x^{2} + 7\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{6} + 7 x^{4} + 12 x^{2} + 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{4} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{\left(x^{2} + 2\right)^{3}}{x^{4}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)^{3}}{x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{6} + 7 x^{4} + 12 x^{2} + 8\right)}{\frac{d}{d x} x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x^{5} + 28 x^{3} + 24 x}{4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x^{5} + 28 x^{3} + 24 x\right)}{\frac{d}{d x} 4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{30 x^{4} + 84 x^{2} + 24}{12 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(30 x^{4} + 84 x^{2} + 24\right)}{\frac{d}{d x} 12 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{120 x^{3} + 168 x}{24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(120 x^{3} + 168 x\right)}{\frac{d}{d x} 24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(15 x^{2} + 7\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(15 x^{2} + 7\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{\left(x^{2} + 2\right)^{3}}{x^{4}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(1 + \frac{\left(x^{2} + 2\right)^{3}}{x^{4}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 + \frac{\left(x^{2} + 2\right)^{3}}{x^{4}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(1 + \frac{\left(x^{2} + 2\right)^{3}}{x^{4}}\right) = 28$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(1 + \frac{\left(x^{2} + 2\right)^{3}}{x^{4}}\right) = 28$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 + \frac{\left(x^{2} + 2\right)^{3}}{x^{4}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(1 + \frac{\left(x^{2} + 2\right)^{3}}{x^{4}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 + \frac{\left(x^{2} + 2\right)^{3}}{x^{4}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(1 + \frac{\left(x^{2} + 2\right)^{3}}{x^{4}}\right) = 28$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(1 + \frac{\left(x^{2} + 2\right)^{3}}{x^{4}}\right) = 28$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 + \frac{\left(x^{2} + 2\right)^{3}}{x^{4}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo