Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x + 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 e^{x}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- x} \left(2 x + \left(x^{2} + 2\right)\right)}{2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{- x}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} 2 e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + 2\right) e^{- x}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} 2 e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} e^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} e^{- x}$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)