Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{x} + x + e^{x} - 1\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty} x = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} \left(x + 1\right)}{x} + \frac{x - 1}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \left(x + 1\right) e^{x} - 1}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x e^{x} + x + e^{x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{x} + 2 e^{x} + 1\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{x} + 2 e^{x} + 1\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)