Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- sin(x)/(e^x-e^(-x))
- seno de (x) dividir por (e en el grado x menos e en el grado ( menos x))
- sin(x)/(ex-e(-x))
- sinx/ex-e-x
- sinx/e^x-e^-x
- sin(x) dividir por (e^x-e^(-x))
-
Expresiones semejantes
- sin(x)/(e^x+e^(-x))
- sin(x)/(e^x-e^(x))
- sinx/(e^x-e^(-x))
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(8*x)/x
- sin(5*x)/(7*x)
- sin(6*x)/tan(2*x)
- sin(-2+x)/(-2+x)
- sin(9*x)*tan(6*x)/(1-cos(10*x))
Límite de la función sin(x)/(e^x-e^(-x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ sin(x) \
lim |--------|
x->0+| x -x|
\E - E /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right)$$
Limit(sin(x)/(E^x - E^(-x)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{2 x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{e^{2 x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} e^{x} \sin{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(e^{2 x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{2 x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{e^{2 x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} e^{x} \sin{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(e^{2 x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = \frac{e \sin{\left(1 \right)}}{-1 + e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = \frac{e \sin{\left(1 \right)}}{-1 + e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = \frac{e \sin{\left(1 \right)}}{-1 + e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = \frac{e \sin{\left(1 \right)}}{-1 + e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ sin(x) \
lim |--------|
x->0+| x -x|
\E - E /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
/ sin(x) \
lim |--------|
x->0-| x -x|
\E - E /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
= 0.5
Gráfico