Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de x/sin(14*x)
-
Expresiones idénticas
- (dos +x+x^ dos)/(dos +x^ dos)
- (2 más x más x al cuadrado ) dividir por (2 más x al cuadrado )
- (dos más x más x en el grado dos) dividir por (dos más x en el grado dos)
- (2+x+x2)/(2+x2)
- 2+x+x2/2+x2
- (2+x+x²)/(2+x²)
- (2+x+x en el grado 2)/(2+x en el grado 2)
- 2+x+x^2/2+x^2
- (2+x+x^2) dividir por (2+x^2)
-
Expresiones semejantes
- (2+x+x^2)/(2-x^2)
- (2-x+x^2)/(2+x^2)
- (2+x-x^2)/(2+x^2)
Límite de la función (2+x+x^2)/(2+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|2 + x + x |
lim |----------|
x->oo| 2 |
\ 2 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right)$$
Limit((2 + x + x^2)/(2 + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u^{2} + u + 1}{2 u^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{2 \cdot 0^{2} + 1}{2 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u^{2} + u + 1}{2 u^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{2 \cdot 0^{2} + 1}{2 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + x + 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{2 x}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + x + 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{2 x}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right) = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right) = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right) = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right) = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico