Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((- uno +x^ dos)/(dos +x^ dos))^(uno +x^ dos)
- (( menos 1 más x al cuadrado ) dividir por (2 más x al cuadrado )) en el grado (1 más x al cuadrado )
- (( menos uno más x en el grado dos) dividir por (dos más x en el grado dos)) en el grado (uno más x en el grado dos)
- ((-1+x2)/(2+x2))(1+x2)
- -1+x2/2+x21+x2
- ((-1+x²)/(2+x²))^(1+x²)
- ((-1+x en el grado 2)/(2+x en el grado 2)) en el grado (1+x en el grado 2)
- -1+x^2/2+x^2^1+x^2
- ((-1+x^2) dividir por (2+x^2))^(1+x^2)
-
Expresiones semejantes
- ((1+x^2)/(2+x^2))^(1+x^2)
- ((-1-x^2)/(2+x^2))^(1+x^2)
- ((-1+x^2)/(2-x^2))^(1+x^2)
- ((-1+x^2)/(2+x^2))^(1-x^2)
Límite de la función ((-1+x^2)/(2+x^2))^(1+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
1 + x
/ 2\
|-1 + x |
lim |-------|
x->oo| 2|
\ 2 + x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2}\right)^{x^{2} + 1}$$
Limit(((-1 + x^2)/(2 + x^2))^(1 + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2}\right)^{x^{2} + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2}\right)^{x^{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{2} + 2\right) - 3}{x^{2} + 2}\right)^{x^{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{x^{2} + 2} + \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2}\right)^{x^{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x^{2} + 2}\right)^{x^{2} + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2} + 2}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x^{2} + 2}\right)^{x^{2} + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}}{1 + \frac{1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3} = e^{-3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2}\right)^{x^{2} + 1} = e^{-3}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2}\right)^{x^{2} + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2}\right)^{x^{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{2} + 2\right) - 3}{x^{2} + 2}\right)^{x^{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{x^{2} + 2} + \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2}\right)^{x^{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x^{2} + 2}\right)^{x^{2} + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2} + 2}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x^{2} + 2}\right)^{x^{2} + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}}{1 + \frac{1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3} = e^{-3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2}\right)^{x^{2} + 1} = e^{-3}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
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