Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\sin{\left(2 x \right)} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} \left(4 x - \pi\right)^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} - 1}{\left(4 x - \pi\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(2 x \right)} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x - \pi\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{32 x - 8 \pi}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 \cos{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(32 x - 8 \pi\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} - \frac{1}{8}$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} - \frac{1}{8}$$
=
$$- \frac{1}{8}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)