Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- x^ dos *log(x*sin(x)/ dos)/ tres
- x al cuadrado multiplicar por logaritmo de (x multiplicar por seno de (x) dividir por 2) dividir por 3
- x en el grado dos multiplicar por logaritmo de (x multiplicar por seno de (x) dividir por dos) dividir por tres
- x2*log(x*sin(x)/2)/3
- x2*logx*sinx/2/3
- x²*log(x*sin(x)/2)/3
- x en el grado 2*log(x*sin(x)/2)/3
- x^2log(xsin(x)/2)/3
- x2log(xsin(x)/2)/3
- x2logxsinx/2/3
- x^2logxsinx/2/3
- x^2*log(x*sin(x) dividir por 2) dividir por 3
-
Expresiones semejantes
- x^2*log(x*sinx/2)/3
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(cos(2*x))/log(cos(3*x))
- log(x)/(1-x)
- log((5+3*x)/(-4+3*x))^(2*x)
- log(1+2*x)/(3+x)
- log(cos(x))/log(1+x^2)
- Seno sin
- sin(5*x)/sin(2*x)
- sin(3*x)/(3*x)
- sin(x^2)/x
- sin(x)/|x|
- sin(x)/asin(x)
Límite de la función x^2*log(x*sin(x)/2)/3
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 /x*sin(x)\\
|x *log|--------||
| \ 2 /|
lim |----------------|
x->0+\ 3 /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}{3}\right)$$
Limit((x^2*log((x*sin(x))/2))/3, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{3}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}{3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{3}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}{3 \left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}{3}\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x^{2} \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 x^{2} \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 x^{2} \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 x^{2} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 x \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 x \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}{3} + \frac{4 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 x \log{\left(2 \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 x \log{\left(2 \right)} \sin{\left(x \right)}}{3}}{- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x^{2} \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 x^{2} \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 x^{2} \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 x^{2} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 x \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 x \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}{3} + \frac{4 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 x \log{\left(2 \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 x \log{\left(2 \right)} \sin{\left(x \right)}}{3}}{- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{3}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}{3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{3}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}{3 \left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}{3}\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x^{2} \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 x^{2} \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 x^{2} \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 x^{2} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 x \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 x \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}{3} + \frac{4 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 x \log{\left(2 \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 x \log{\left(2 \right)} \sin{\left(x \right)}}{3}}{- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x^{2} \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 x^{2} \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 x^{2} \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 x^{2} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 x \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 x \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}{3} + \frac{4 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 x \log{\left(2 \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 x \log{\left(2 \right)} \sin{\left(x \right)}}{3}}{- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 /x*sin(x)\\
|x *log|--------||
| \ 2 /|
lim |----------------|
x->0+\ 3 /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}{3}\right)$$
0
$$0$$
= -5.58919528781393e-7
/ 2 /x*sin(x)\\
|x *log|--------||
| \ 2 /|
lim |----------------|
x->0-\ 3 /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}{3}\right)$$
0
$$0$$
= -5.58919528781393e-7
= -5.58919528781393e-7
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}{3}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}{3}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}{3}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}{3}\right) = - \frac{\log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(\sin{\left(1 \right)} \right)}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}{3}\right) = - \frac{\log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(\sin{\left(1 \right)} \right)}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}{3}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}{3}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}{3}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}{3}\right) = - \frac{\log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(\sin{\left(1 \right)} \right)}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}{3}\right) = - \frac{\log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(\sin{\left(1 \right)} \right)}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} \right)}}{3}\right)$$
Más detalles con x→-oo