Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+} \sin^{2}{\left(x - 3 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{2} - 5 x + 6\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x - 3 \right)}}{- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x - 3 \right)}}{x^{2} - 5 x + 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(x - 3 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 5 x + 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \sin{\left(x - 3 \right)} \cos{\left(x - 3 \right)}}{2 x - 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \sin{\left(x - 3 \right)}}{2 x - 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 \sin{\left(x - 3 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(2 x - 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+} \cos{\left(x - 3 \right)}$$
=
$$\lim_{x \to 3^+} 1$$
=
$$\lim_{x \to 3^+} 1$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)