Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-27+x^3)/(-3+x)
-
Límite de (-6+x+x^2)/(-2+x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(20+x^2-12*x)
-
Límite de tan(5*x)/x
-
Expresiones idénticas
- (- uno +x^ dos)/(uno +x^ dos - dos *x)
- ( menos 1 más x al cuadrado ) dividir por (1 más x al cuadrado menos 2 multiplicar por x)
- ( menos uno más x en el grado dos) dividir por (uno más x en el grado dos menos dos multiplicar por x)
- (-1+x2)/(1+x2-2*x)
- -1+x2/1+x2-2*x
- (-1+x²)/(1+x²-2*x)
- (-1+x en el grado 2)/(1+x en el grado 2-2*x)
- (-1+x^2)/(1+x^2-2x)
- (-1+x2)/(1+x2-2x)
- -1+x2/1+x2-2x
- -1+x^2/1+x^2-2x
- (-1+x^2) dividir por (1+x^2-2*x)
-
Expresiones semejantes
- (-1-x^2)/(1+x^2-2*x)
- (1+x^2)/(1+x^2-2*x)
- (-1+x^2)/(1-x^2-2*x)
- (-1+x^2)/(1+x^2+2*x)
Límite de la función (-1+x^2)/(1+x^2-2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| -1 + x |
lim |------------|
x->oo| 2 |
\1 + x - 2*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
Limit((-1 + x^2)/(1 + x^2 - 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - u^{2}}{u^{2} - 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{1 - 0^{2}}{0^{2} - 0 + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - u^{2}}{u^{2} - 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{1 - 0^{2}}{0^{2} - 0 + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 2 x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(2 x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 2 x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(2 x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| -1 + x |
lim |------------|
x->1+| 2 |
\1 + x - 2*x/
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
oo
$$\infty$$
= 303.0
/ 2 \
| -1 + x |
lim |------------|
x->1-| 2 |
\1 + x - 2*x/
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
-oo
$$-\infty$$
= -301.0
= -301.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- 2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico