Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+x^3)/(-1+x)
-
Límite de (-9+x^2)/(-3+x)
-
Límite de (-3+x)/(-9+x^2)
-
Límite de x^sin(x)
-
Expresiones idénticas
- (- uno +x^ dos)/(- siete +x^ dos + seis *x)
- ( menos 1 más x al cuadrado ) dividir por ( menos 7 más x al cuadrado más 6 multiplicar por x)
- ( menos uno más x en el grado dos) dividir por ( menos siete más x en el grado dos más seis multiplicar por x)
- (-1+x2)/(-7+x2+6*x)
- -1+x2/-7+x2+6*x
- (-1+x²)/(-7+x²+6*x)
- (-1+x en el grado 2)/(-7+x en el grado 2+6*x)
- (-1+x^2)/(-7+x^2+6x)
- (-1+x2)/(-7+x2+6x)
- -1+x2/-7+x2+6x
- -1+x^2/-7+x^2+6x
- (-1+x^2) dividir por (-7+x^2+6*x)
-
Expresiones semejantes
- (-1-x^2)/(-7+x^2+6*x)
- (-1+x^2)/(-7-x^2+6*x)
- (-1+x^2)/(7+x^2+6*x)
- (-1+x^2)/(-7+x^2-6*x)
- (1+x^2)/(-7+x^2+6*x)
Límite de la función (-1+x^2)/(-7+x^2+6*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| -1 + x |
lim |-------------|
x->oo| 2 |
\-7 + x + 6*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right)$$
Limit((-1 + x^2)/(-7 + x^2 + 6*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{6}{x} - \frac{7}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{6}{x} - \frac{7}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - u^{2}}{- 7 u^{2} + 6 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{1 - 0^{2}}{- 7 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 6 + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{6}{x} - \frac{7}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{6}{x} - \frac{7}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - u^{2}}{- 7 u^{2} + 6 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{1 - 0^{2}}{- 7 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 6 + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 6 x - 7\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 6 x - 7}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 6 x - 7\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x + 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 6 x - 7\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 6 x - 7}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 6 x - 7\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x + 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| -1 + x |
lim |-------------|
x->1+| 2 |
\-7 + x + 6*x/
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right)$$
1/4
$$\frac{1}{4}$$
= 0.25
/ 2 \
| -1 + x |
lim |-------------|
x->1-| 2 |
\-7 + x + 6*x/
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right)$$
1/4
$$\frac{1}{4}$$
= 0.25
= 0.25
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right) = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right) = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right) = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right) = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{6 x + \left(x^{2} - 7\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico