Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- (tres +x^ dos + dos *x)/(cuatro + dos *x^ dos + tres *x)
- (3 más x al cuadrado más 2 multiplicar por x) dividir por (4 más 2 multiplicar por x al cuadrado más 3 multiplicar por x)
- (tres más x en el grado dos más dos multiplicar por x) dividir por (cuatro más dos multiplicar por x en el grado dos más tres multiplicar por x)
- (3+x2+2*x)/(4+2*x2+3*x)
- 3+x2+2*x/4+2*x2+3*x
- (3+x²+2*x)/(4+2*x²+3*x)
- (3+x en el grado 2+2*x)/(4+2*x en el grado 2+3*x)
- (3+x^2+2x)/(4+2x^2+3x)
- (3+x2+2x)/(4+2x2+3x)
- 3+x2+2x/4+2x2+3x
- 3+x^2+2x/4+2x^2+3x
- (3+x^2+2*x) dividir por (4+2*x^2+3*x)
-
Expresiones semejantes
- (3+x^2-2*x)/(4+2*x^2+3*x)
- (3+x^2+2*x)/(4-2*x^2+3*x)
- (3+x^2+2*x)/(4+2*x^2-3*x)
- (3-x^2+2*x)/(4+2*x^2+3*x)
Límite de la función (3+x^2+2*x)/(4+2*x^2+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| 3 + x + 2*x |
lim |--------------|
x->oo| 2 |
\4 + 2*x + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right)$$
Limit((3 + x^2 + 2*x)/(4 + 2*x^2 + 3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{2 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{2 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u^{2} + 2 u + 1}{4 u^{2} + 3 u + 2}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 2 + 3 \cdot 0^{2} + 1}{0 \cdot 3 + 4 \cdot 0^{2} + 2} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{2 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{2 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u^{2} + 2 u + 1}{4 u^{2} + 3 u + 2}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 2 + 3 \cdot 0^{2} + 1}{0 \cdot 3 + 4 \cdot 0^{2} + 2} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x + 3\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} + 3 x + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 3}{2 x^{2} + 3 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 3 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{4 x + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x + 3\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} + 3 x + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 3}{2 x^{2} + 3 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 3 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{4 x + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 3\right)}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico