Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{6} + \log{\left(x e^{x} + 1 \right)} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sinh{\left(5 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x^{6} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) + \log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{6} + \log{\left(x e^{x} + 1 \right)} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{6} + \log{\left(x e^{x} + 1 \right)} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \sinh{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x^{5} + \frac{x e^{x} + e^{x}}{x e^{x} + 1} + \frac{1}{3 \left(1 - \frac{x^{2}}{9}\right)}}{5 \cosh{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x^{5}}{5} + \frac{x e^{x}}{5 \left(x e^{x} + 1\right)} + \frac{e^{x}}{5 \left(x e^{x} + 1\right)} + \frac{1}{15 \left(1 - \frac{x^{2}}{9}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x^{5}}{5} + \frac{x e^{x}}{5 \left(x e^{x} + 1\right)} + \frac{e^{x}}{5 \left(x e^{x} + 1\right)} + \frac{1}{15 \left(1 - \frac{x^{2}}{9}\right)}\right)$$
=
$$\frac{4}{15}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)