Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((4+x^2+5*x)/(7+x^2-3*x))^x
-
Límite de ((1+x)^3-(-1+x)^3)/((1+x)^2+(-1+x)^2)
-
Límite de (-2+sqrt(-1+x))/(-3+sqrt(-1+2*x))
-
Límite de (-5+sqrt(9+2*x))/(-4+x^(2/3))
-
Expresiones idénticas
- (x^ seis +atanh(x/ tres)+log(uno +x*e^x))/sinh(cinco *x)
- (x en el grado 6 más tangente de gente hiperbólica de (x dividir por 3) más logaritmo de (1 más x multiplicar por e en el grado x)) dividir por seno hiperbólico de (5 multiplicar por x)
- (x en el grado seis más tangente de gente hiperbólica de (x dividir por tres) más logaritmo de (uno más x multiplicar por e en el grado x)) dividir por seno hiperbólico de (cinco multiplicar por x)
- (x6+atanh(x/3)+log(1+x*ex))/sinh(5*x)
- x6+atanhx/3+log1+x*ex/sinh5*x
- (x⁶+atanh(x/3)+log(1+x*e^x))/sinh(5*x)
- (x^6+atanh(x/3)+log(1+xe^x))/sinh(5x)
- (x6+atanh(x/3)+log(1+xex))/sinh(5x)
- x6+atanhx/3+log1+xex/sinh5x
- x^6+atanhx/3+log1+xe^x/sinh5x
- (x^6+atanh(x dividir por 3)+log(1+x*e^x)) dividir por sinh(5*x)
-
Expresiones semejantes
- (x^6-atanh(x/3)+log(1+x*e^x))/sinh(5*x)
- (x^6+atanh(x/3)-log(1+x*e^x))/sinh(5*x)
- (x^6+atanh(x/3)+log(1-x*e^x))/sinh(5*x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(Abs(-1+log(x)))
- log(1+2*x*tan(sqrt(x)))/(-1+e^x)
- log(1+3*x^2)/(x*tan(x))
- log(x*e^4/(3+x))
- log(2/x)/atan(x)
Límite de la función (x^6+atanh(x/3)+log(1+x*e^x))/sinh(5*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 6 /x\ / x\\
|x + atanh|-| + log\1 + x*E /|
| \3/ |
lim |-----------------------------|
x->0+\ sinh(5*x) /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x^{6} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) + \log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right)$$
Limit((x^6 + atanh(x/3) + log(1 + x*E^x))/sinh(5*x), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{6} + \log{\left(x e^{x} + 1 \right)} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sinh{\left(5 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x^{6} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) + \log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{6} + \log{\left(x e^{x} + 1 \right)} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{6} + \log{\left(x e^{x} + 1 \right)} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \sinh{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x^{5} + \frac{x e^{x} + e^{x}}{x e^{x} + 1} + \frac{1}{3 \left(1 - \frac{x^{2}}{9}\right)}}{5 \cosh{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x^{5}}{5} + \frac{x e^{x}}{5 \left(x e^{x} + 1\right)} + \frac{e^{x}}{5 \left(x e^{x} + 1\right)} + \frac{1}{15 \left(1 - \frac{x^{2}}{9}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x^{5}}{5} + \frac{x e^{x}}{5 \left(x e^{x} + 1\right)} + \frac{e^{x}}{5 \left(x e^{x} + 1\right)} + \frac{1}{15 \left(1 - \frac{x^{2}}{9}\right)}\right)$$
=
$$\frac{4}{15}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{6} + \log{\left(x e^{x} + 1 \right)} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sinh{\left(5 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x^{6} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) + \log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{6} + \log{\left(x e^{x} + 1 \right)} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{6} + \log{\left(x e^{x} + 1 \right)} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \sinh{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x^{5} + \frac{x e^{x} + e^{x}}{x e^{x} + 1} + \frac{1}{3 \left(1 - \frac{x^{2}}{9}\right)}}{5 \cosh{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x^{5}}{5} + \frac{x e^{x}}{5 \left(x e^{x} + 1\right)} + \frac{e^{x}}{5 \left(x e^{x} + 1\right)} + \frac{1}{15 \left(1 - \frac{x^{2}}{9}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x^{5}}{5} + \frac{x e^{x}}{5 \left(x e^{x} + 1\right)} + \frac{e^{x}}{5 \left(x e^{x} + 1\right)} + \frac{1}{15 \left(1 - \frac{x^{2}}{9}\right)}\right)$$
=
$$\frac{4}{15}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 6 /x\ / x\\
|x + atanh|-| + log\1 + x*E /|
| \3/ |
lim |-----------------------------|
x->0+\ sinh(5*x) /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x^{6} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) + \log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right)$$
4/15
$$\frac{4}{15}$$
= 0.266666666666667
/ 6 /x\ / x\\
|x + atanh|-| + log\1 + x*E /|
| \3/ |
lim |-----------------------------|
x->0-\ sinh(5*x) /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x^{6} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) + \log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right)$$
4/15
$$\frac{4}{15}$$
= 0.266666666666667
= 0.266666666666667
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x^{6} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) + \log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{4}{15}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x^{6} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) + \log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{4}{15}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{6} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) + \log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x^{6} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) + \log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{2 e^{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{1}{3} \right)} + 2 e^{5} + 2 e^{5} \log{\left(1 + e \right)}}{-1 + e^{10}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x^{6} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) + \log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{2 e^{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{1}{3} \right)} + 2 e^{5} + 2 e^{5} \log{\left(1 + e \right)}}{-1 + e^{10}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{6} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) + \log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x^{6} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) + \log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{4}{15}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{6} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) + \log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x^{6} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) + \log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{2 e^{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{1}{3} \right)} + 2 e^{5} + 2 e^{5} \log{\left(1 + e \right)}}{-1 + e^{10}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x^{6} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) + \log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{2 e^{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{1}{3} \right)} + 2 e^{5} + 2 e^{5} \log{\left(1 + e \right)}}{-1 + e^{10}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{6} + \operatorname{atanh}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) + \log{\left(e^{x} x + 1 \right)}}{\sinh{\left(5 x \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo