Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(2 x \tan{\left(\sqrt{x} \right)} + 1 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2 x \tan{\left(\sqrt{x} \right)} + 1 \right)}}{e^{x} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2 x \tan{\left(\sqrt{x} \right)} + 1 \right)}}{e^{x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2 x \tan{\left(\sqrt{x} \right)} + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(e^{x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\sqrt{x} \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) + 2 \tan{\left(\sqrt{x} \right)}\right) e^{- x}}{2 x \tan{\left(\sqrt{x} \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(\sqrt{x} \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + \sqrt{x} + 2 \tan{\left(\sqrt{x} \right)}\right) e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(\sqrt{x} \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + \sqrt{x} + 2 \tan{\left(\sqrt{x} \right)}\right) e^{- x}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)