Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\log{\left(7 \right)} \tan^{2}{\left(x - 5 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(5 \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x - 5 \right)}}{\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(7 \right)}} - \frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(7 \right)}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{\log{\left(7 \right)} \tan^{2}{\left(x - 5 \right)}}{\log{\left(x \right)} - \log{\left(5 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(7 \right)} \tan^{2}{\left(x - 5 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(5 \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(x \left(2 \tan^{2}{\left(x - 5 \right)} + 2\right) \log{\left(7 \right)} \tan{\left(x - 5 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(2 x \log{\left(7 \right)} \tan{\left(x - 5 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(2 x \log{\left(7 \right)} \tan{\left(x - 5 \right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)