Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- log(dos ^x+e^x)/log(tres ^x-e^x)
- logaritmo de (2 en el grado x más e en el grado x) dividir por logaritmo de (3 en el grado x menos e en el grado x)
- logaritmo de (dos en el grado x más e en el grado x) dividir por logaritmo de (tres en el grado x menos e en el grado x)
- log(2x+ex)/log(3x-ex)
- log2x+ex/log3x-ex
- log2^x+e^x/log3^x-e^x
- log(2^x+e^x) dividir por log(3^x-e^x)
-
Expresiones semejantes
- log(2^x+e^x)/log(3^x+e^x)
- log(2^x-e^x)/log(3^x-e^x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(sin(x))*tan(x)
- log(e+x)^(1/x)
- log(1+2*x)/x
- log((1+x)/(-1+x))
- log(x)/(1+x)
- Logaritmo log
- log(sin(x))*tan(x)
- log(e+x)^(1/x)
- log(1+2*x)/x
- log((1+x)/(-1+x))
- log(x)/(1+x)
Límite de la función log(2^x+e^x)/log(3^x-e^x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / x x\\
|log\2 + E /|
lim |------------|
x->oo| / x x\|
\log\3 - E //
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + e^{x} \right)}}{\log{\left(3^{x} - e^{x} \right)}}\right)$$
Limit(log(2^x + E^x)/log(3^x - E^x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(2^{x} + e^{x} \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(3^{x} - e^{x} \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + e^{x} \right)}}{\log{\left(3^{x} - e^{x} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + e^{x} \right)}}{\log{\left(3^{x} - e^{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2^{x} + e^{x} \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(3^{x} - e^{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3^{x} - e^{x}\right) \left(2^{x} \log{\left(2 \right)} + e^{x}\right)}{\left(2^{x} + e^{x}\right) \left(3^{x} \log{\left(3 \right)} - e^{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left(3^{x} - e^{x}\right) \left(2^{x} \log{\left(2 \right)} + e^{x}\right)}{2^{x} + e^{x}}}{\frac{d}{d x} \left(3^{x} \log{\left(3 \right)} - e^{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{2^{2 x} 3^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} + \frac{2^{2 x} e^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} + \frac{2 \cdot 2^{x} e^{2 x} \log{\left(2 \right)}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} - \frac{2^{x} e^{x} \log{\left(2 \right)}}{2^{x} + e^{x}} - \frac{2^{x} e^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{x} + e^{x}} - \frac{3^{x} e^{2 x}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} + \frac{3^{x} e^{x}}{2^{x} + e^{x}} + \frac{3^{x} e^{x} \log{\left(3 \right)}}{2^{x} + e^{x}} - \frac{2 \cdot 6^{x} e^{x} \log{\left(2 \right)}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} + \frac{6^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{x} + e^{x}} + \frac{6^{x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}}{2^{x} + e^{x}} + \frac{e^{3 x}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} - \frac{2 e^{2 x}}{2^{x} + e^{x}}}{3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2} - e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{2^{2 x} 3^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} + \frac{2^{2 x} e^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} + \frac{2 \cdot 2^{x} e^{2 x} \log{\left(2 \right)}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} - \frac{2^{x} e^{x} \log{\left(2 \right)}}{2^{x} + e^{x}} - \frac{2^{x} e^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{x} + e^{x}} - \frac{3^{x} e^{2 x}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} + \frac{3^{x} e^{x}}{2^{x} + e^{x}} + \frac{3^{x} e^{x} \log{\left(3 \right)}}{2^{x} + e^{x}} - \frac{2 \cdot 6^{x} e^{x} \log{\left(2 \right)}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} + \frac{6^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{x} + e^{x}} + \frac{6^{x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}}{2^{x} + e^{x}} + \frac{e^{3 x}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} - \frac{2 e^{2 x}}{2^{x} + e^{x}}}{3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2} - e^{x}}\right)$$
=
$$\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(2^{x} + e^{x} \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(3^{x} - e^{x} \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + e^{x} \right)}}{\log{\left(3^{x} - e^{x} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + e^{x} \right)}}{\log{\left(3^{x} - e^{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2^{x} + e^{x} \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(3^{x} - e^{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3^{x} - e^{x}\right) \left(2^{x} \log{\left(2 \right)} + e^{x}\right)}{\left(2^{x} + e^{x}\right) \left(3^{x} \log{\left(3 \right)} - e^{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left(3^{x} - e^{x}\right) \left(2^{x} \log{\left(2 \right)} + e^{x}\right)}{2^{x} + e^{x}}}{\frac{d}{d x} \left(3^{x} \log{\left(3 \right)} - e^{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{2^{2 x} 3^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} + \frac{2^{2 x} e^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} + \frac{2 \cdot 2^{x} e^{2 x} \log{\left(2 \right)}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} - \frac{2^{x} e^{x} \log{\left(2 \right)}}{2^{x} + e^{x}} - \frac{2^{x} e^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{x} + e^{x}} - \frac{3^{x} e^{2 x}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} + \frac{3^{x} e^{x}}{2^{x} + e^{x}} + \frac{3^{x} e^{x} \log{\left(3 \right)}}{2^{x} + e^{x}} - \frac{2 \cdot 6^{x} e^{x} \log{\left(2 \right)}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} + \frac{6^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{x} + e^{x}} + \frac{6^{x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}}{2^{x} + e^{x}} + \frac{e^{3 x}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} - \frac{2 e^{2 x}}{2^{x} + e^{x}}}{3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2} - e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{2^{2 x} 3^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} + \frac{2^{2 x} e^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} + \frac{2 \cdot 2^{x} e^{2 x} \log{\left(2 \right)}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} - \frac{2^{x} e^{x} \log{\left(2 \right)}}{2^{x} + e^{x}} - \frac{2^{x} e^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{x} + e^{x}} - \frac{3^{x} e^{2 x}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} + \frac{3^{x} e^{x}}{2^{x} + e^{x}} + \frac{3^{x} e^{x} \log{\left(3 \right)}}{2^{x} + e^{x}} - \frac{2 \cdot 6^{x} e^{x} \log{\left(2 \right)}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} + \frac{6^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2^{x} + e^{x}} + \frac{6^{x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}}{2^{x} + e^{x}} + \frac{e^{3 x}}{2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} e^{x} + e^{2 x}} - \frac{2 e^{2 x}}{2^{x} + e^{x}}}{3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2} - e^{x}}\right)$$
=
$$\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + e^{x} \right)}}{\log{\left(3^{x} - e^{x} \right)}}\right) = \frac{1}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + e^{x} \right)}}{\log{\left(3^{x} - e^{x} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + e^{x} \right)}}{\log{\left(3^{x} - e^{x} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + e^{x} \right)}}{\log{\left(3^{x} - e^{x} \right)}}\right) = \frac{\log{\left(2 + e \right)}}{\log{\left(3 - e \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + e^{x} \right)}}{\log{\left(3^{x} - e^{x} \right)}}\right) = \frac{\log{\left(2 + e \right)}}{\log{\left(3 - e \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + e^{x} \right)}}{\log{\left(3^{x} - e^{x} \right)}}\right) = \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + e^{x} \right)}}{\log{\left(3^{x} - e^{x} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + e^{x} \right)}}{\log{\left(3^{x} - e^{x} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + e^{x} \right)}}{\log{\left(3^{x} - e^{x} \right)}}\right) = \frac{\log{\left(2 + e \right)}}{\log{\left(3 - e \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + e^{x} \right)}}{\log{\left(3^{x} - e^{x} \right)}}\right) = \frac{\log{\left(2 + e \right)}}{\log{\left(3 - e \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2^{x} + e^{x} \right)}}{\log{\left(3^{x} - e^{x} \right)}}\right) = \log{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→-oo