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Simplificación de expresiones/ Descomposición de multiplicadores/ x^4-x^2-1

Factorizar el polinomio x^4-x^2-1

Expresión a simplificar:

Solución

Ha introducido [src] 
 4    2    
x  - x  - 1
(x4−x2)−1\left(x^{4} - x^{2}\right) - 1 
x^4 - x^2 - 1
Simplificación general [src] 
      4    2
-1 + x  - x
x4−x2−1x^{4} - x^{2} - 1 
-1 + x^4 - x^2
Expresión del cuadrado perfecto
Expresemos el cuadrado perfecto del trinomio cuadrático
(x4−x2)−1\left(x^{4} - x^{2}\right) - 1
Para eso usemos la fórmula
ax4+bx2+c=a(m+x2)2+na x^{4} + b x^{2} + c = a \left(m + x^{2}\right)^{2} + n
donde
m=b2am = \frac{b}{2 a}
n=4ac−b24an = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}
En nuestro caso
a=1a = 1
b=−1b = -1
c=−1c = -1
Entonces
m=−12m = - \frac{1}{2}
n=−54n = - \frac{5}{4}
Pues,
(x2−12)2−54\left(x^{2} - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{5}{4}
Factorización [src] 
/           _____________\ /           _____________\ /         ___________\ /         ___________\
|          /         ___ | |          /         ___ | |        /       ___ | |        /       ___ |
|         /    1   \/ 5  | |         /    1   \/ 5  | |       /  1   \/ 5  | |       /  1   \/ 5  |
|x + I*  /   - - + ----- |*|x - I*  /   - - + ----- |*|x +   /   - + ----- |*|x -   /   - + ----- |
\      \/      2     2   / \      \/      2     2   / \    \/    2     2   / \    \/    2     2   /
(x−i−12+52)(x+i−12+52)(x+12+52)(x−12+52)\left(x - i \sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}\right) \left(x + i \sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}\right) \left(x + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}\right) \left(x - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}\right) 
(((x + i*sqrt(-1/2 + sqrt(5)/2))*(x - i*sqrt(-1/2 + sqrt(5)/2)))*(x + sqrt(1/2 + sqrt(5)/2)))*(x - sqrt(1/2 + sqrt(5)/2))
Potencias [src] 
      4    2
-1 + x  - x
x4−x2−1x^{4} - x^{2} - 1 
-1 + x^4 - x^2
Denominador común [src] 
      4    2
-1 + x  - x
x4−x2−1x^{4} - x^{2} - 1 
-1 + x^4 - x^2
Denominador racional [src] 
      4    2
-1 + x  - x
x4−x2−1x^{4} - x^{2} - 1 
-1 + x^4 - x^2
Parte trigonométrica [src] 
      4    2
-1 + x  - x
x4−x2−1x^{4} - x^{2} - 1 
-1 + x^4 - x^2
Respuesta numérica [src] 
-1.0 + x^4 - x^2
-1.0 + x^4 - x^2
Combinatoria [src] 
      4    2
-1 + x  - x
x4−x2−1x^{4} - x^{2} - 1 
-1 + x^4 - x^2
Compilar la expresión [src] 
      4    2
-1 + x  - x
x4−x2−1x^{4} - x^{2} - 1 
-1 + x^4 - x^2
Unión de expresiones racionales [src] 
      2 /      2\
-1 + x *\-1 + x /
x2(x2−1)−1x^{2} \left(x^{2} - 1\right) - 1 
-1 + x^2*(-1 + x^2)
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