Se da una serie:
$$- \frac{\sin{\left(n + 1 \right)}}{n + 1} + \frac{\sin{\left(n \right)}}{n}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = - \frac{\sin{\left(n + 1 \right)}}{n + 1} + \frac{\sin{\left(n \right)}}{n}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\frac{\sin{\left(n + 1 \right)}}{n + 1} - \frac{\sin{\left(n \right)}}{n}}{\frac{\sin{\left(n + 2 \right)}}{n + 2} - \frac{\sin{\left(n + 1 \right)}}{n + 1}}}\right|$$
Tomamos como el límitehallamos
$$R^{0} = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\frac{\sin{\left(n + 1 \right)}}{n + 1} - \frac{\sin{\left(n \right)}}{n}}{\frac{\sin{\left(n + 2 \right)}}{n + 2} - \frac{\sin{\left(n + 1 \right)}}{n + 1}}}\right|$$