Sr Examen

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(sin(n)/(n))-((sin(n+1))/(n+1))

Suma de la serie (sin(n)/(n))-((sin(n+1))/(n+1))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                       
 ___                       
 \  `                      
  \   /sin(n)   sin(n + 1)\
   )  |------ - ----------|
  /   \  n        n + 1   /
 /__,                      
n = 1                      
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(- \frac{\sin{\left(n + 1 \right)}}{n + 1} + \frac{\sin{\left(n \right)}}{n}\right)$$
Sum(sin(n)/n - sin(n + 1)/(n + 1), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$- \frac{\sin{\left(n + 1 \right)}}{n + 1} + \frac{\sin{\left(n \right)}}{n}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = - \frac{\sin{\left(n + 1 \right)}}{n + 1} + \frac{\sin{\left(n \right)}}{n}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\frac{\sin{\left(n + 1 \right)}}{n + 1} - \frac{\sin{\left(n \right)}}{n}}{\frac{\sin{\left(n + 2 \right)}}{n + 2} - \frac{\sin{\left(n + 1 \right)}}{n + 1}}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\frac{\sin{\left(n + 1 \right)}}{n + 1} - \frac{\sin{\left(n \right)}}{n}}{\frac{\sin{\left(n + 2 \right)}}{n + 2} - \frac{\sin{\left(n + 1 \right)}}{n + 1}}}\right|$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
sin(1)
$$\sin{\left(1 \right)}$$
sin(1)
Gráfico
Suma de la serie (sin(n)/(n))-((sin(n+1))/(n+1))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie