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arctg(1/(2n^2))
Suma de la serie/ arctg(1/(2n^2))

Suma de la serie arctg(1/(2n^2))


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo            
____            
\   `           
 \        / 1  \
  \   atan|----|
  /       |   2|
 /        \2*n /
/___,           
n = 1
∑n=1∞atan⁡(12n2)\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2 n^{2}} \right)} 
Sum(atan(1/(2*n^2)), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
atan⁡(12n2)\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2 n^{2}} \right)}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=atan⁡(12n2)a_{n} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2 n^{2}} \right)}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞(atan⁡(12n2)atan⁡(12(n+1)2))1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2 n^{2}} \right)}}{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2 \left(n + 1\right)^{2}} \right)}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.50.250.75
Respuesta numérica [src] 
0.785398163397448309615660845820
0.785398163397448309615660845820
Gráfico
Suma de la serie arctg(1/(2n^2))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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