Sr Examen

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arcsinh^2((sqrt(n+1))/n+2)/n^3+2

Suma de la serie arcsinh^2((sqrt(n+1))/n+2)/n^3+2



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                              
_____                             
\    `                            
 \     /      /  _______    \    \
  \    |     2|\/ n + 1     |    |
   \   |asinh |--------- + 2|    |
    )  |      \    n        /    |
   /   |--------------------- + 2|
  /    |           3             |
 /     \          n              /
/____,                            
n = 1                             
n=1(2+asinh2(2+n+1n)n3)\sum_{n=1}^{\infty} \left(2 + \frac{\operatorname{asinh}^{2}{\left(2 + \frac{\sqrt{n + 1}}{n} \right)}}{n^{3}}\right)
Sum(asinh(sqrt(n + 1)/n + 2)^2/n^3 + 2, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
2+asinh2(2+n+1n)n32 + \frac{\operatorname{asinh}^{2}{\left(2 + \frac{\sqrt{n + 1}}{n} \right)}}{n^{3}}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=2+asinh2(2+n+1n)n3a_{n} = 2 + \frac{\operatorname{asinh}^{2}{\left(2 + \frac{\sqrt{n + 1}}{n} \right)}}{n^{3}}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limn2+asinh2(2+n+1n)n32+asinh2(2+n+2n+1)(n+1)31 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{2 + \frac{\operatorname{asinh}^{2}{\left(2 + \frac{\sqrt{n + 1}}{n} \right)}}{n^{3}}}{2 + \frac{\operatorname{asinh}^{2}{\left(2 + \frac{\sqrt{n + 2}}{n + 1} \right)}}{\left(n + 1\right)^{3}}}}\right|
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.5020
Gráfico
Suma de la serie arcsinh^2((sqrt(n+1))/n+2)/n^3+2

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie