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Suma de la serie/ factorial(n+3)*x^n/factorial(n+5)

Suma de la serie factorial(n+3)*x^n/factorial(n+5)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo             
____             
\   `            
 \              n
  \   (n + 3)!*x 
  /   -----------
 /      (n + 5)! 
/___,            
n = 1
∑n=1∞xn(n+3)!(n+5)!\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n} \left(n + 3\right)!}{\left(n + 5\right)!} 
Sum((factorial(n + 3)*x^n)/factorial(n + 5), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
xn(n+3)!(n+5)!\frac{x^{n} \left(n + 3\right)!}{\left(n + 5\right)!}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=(n+3)!(n+5)!a_{n} = \frac{\left(n + 3\right)!}{\left(n + 5\right)!}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=1d = 1
,
c=1c = 1
entonces
R=lim⁡n→∞∣(n+3)!(n+6)!(n+4)!(n+5)!∣R = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\left(n + 3\right)! \left(n + 6\right)!}{\left(n + 4\right)! \left(n + 5\right)!}}\right|
Tomamos como el límite
hallamos
R1=1R^{1} = 1
R=1R = 1
Respuesta [src] 
/  /                      3      4                         \              
|  |               2   5*x    3*x                          |              
|  |30 - 15*x - 5*x  - ---- - ----                         |              
|  |                    2      2     (30 - 30*x)*log(1 - x)|              
|x*|------------------------------ + ----------------------|              
|  |               5                            6          |              
|  \              x                            x           /              
|-----------------------------------------------------------  for |x| <= 1
|                             30                                          
<                                                                         
|                       oo                                                
|                     ____                                                
|                     \   `                                               
|                      \     n                                            
|                       \   x *(3 + n)!                                   
|                       /   -----------                        otherwise  
|                      /      (5 + n)!                                    
|                     /___,                                               
\                     n = 1
{x(−3x42−5x32−5x2−15x+30x5+(30−30x)log⁡(1−x)x6)30for ∣x∣≤1∑n=1∞xn(n+3)!(n+5)!otherwise\begin{cases} \frac{x \left(\frac{- \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{5 x^{3}}{2} - 5 x^{2} - 15 x + 30}{x^{5}} + \frac{\left(30 - 30 x\right) \log{\left(1 - x \right)}}{x^{6}}\right)}{30} & \text{for}\: \left|{x}\right| \leq 1 \\\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n} \left(n + 3\right)!}{\left(n + 5\right)!} & \text{otherwise} \end{cases} 
Piecewise((x*((30 - 15*x - 5*x^2 - 5*x^3/2 - 3*x^4/2)/x^5 + (30 - 30*x)*log(1 - x)/x^6)/30, |x| <= 1), (Sum(x^n*factorial(3 + n)/factorial(5 + n), (n, 1, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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