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sin(pi/n)^n
Suma de la serie/ sin(pi/n)^n

Suma de la serie sin(pi/n)^n


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo          
 ___          
 \  `         
  \      n/pi\
   )  sin |--|
  /       \n /
 /__,         
n = 1
∑n=1∞sin⁡n(πn)\sum_{n=1}^{\infty} \sin^{n}{\left(\frac{\pi}{n} \right)} 
Sum(sin(pi/n)^n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
sin⁡n(πn)\sin^{n}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=sin⁡n(πn)a_{n} = \sin^{n}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞(∣sin⁡n(πn)∣∣sin⁡n+1(πn+1)∣)1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left|{\sin^{n}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}}\right|}{\left|{\sin^{n + 1}{\left(\frac{\pi}{n + 1} \right)}}\right|}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=∞R^{0} = \infty
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.504
Respuesta numérica [src] 
1.98873236754610398181308175190
1.98873236754610398181308175190
Gráfico
Suma de la serie sin(pi/n)^n

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