Sr Examen

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Suma de la serie (x-1)^(n)/(2n+1)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo          
____          
\   `         
 \           n
  \   (x - 1) 
  /   --------
 /    2*n + 1 
/___,         
n = 1         
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x - 1\right)^{n}}{2 n + 1}$$
Sum((x - 1)^n/(2*n + 1), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\left(x - 1\right)^{n}}{2 n + 1}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{1}{2 n + 1}$$
y
$$x_{0} = 1$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = 1 + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + 3}{2 n + 1}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = 2$$
$$R = 2$$
Respuesta [src]
/          /                  /  ________\\                        
|/  1   x\ |    3      3*atanh\\/ -1 + x /|                        
||- - + -|*|- ------ + -------------------|  for And(x >= 0, x < 2)
|\  3   3/ |  -1 + x               3/2    |                        
|          \               (-1 + x)       /                        
|                                                                  
|               oo                                                 
<             ____                                                 
|             \   `                                                
|              \            n                                      
|               \   (-1 + x)                                       
|               /   ---------                      otherwise       
|              /     1 + 2*n                                       
|             /___,                                                
\             n = 1                                                
$$\begin{cases} \left(\frac{x}{3} - \frac{1}{3}\right) \left(- \frac{3}{x - 1} + \frac{3 \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{x - 1} \right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 2 \\\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x - 1\right)^{n}}{2 n + 1} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Piecewise(((-1/3 + x/3)*(-3/(-1 + x) + 3*atanh(sqrt(-1 + x))/(-1 + x)^(3/2)), (x >= 0)∧(x < 2)), (Sum((-1 + x)^n/(1 + 2*n), (n, 1, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie