Sr Examen

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1-cos(1/(n^(2/3)))

Suma de la serie 1-cos(1/(n^(2/3)))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                 
____                 
\   `                
 \    /       / 1  \\
  \   |1 - cos|----||
  /   |       | 2/3||
 /    \       \n   //
/___,                
n = 1                
n=1(1cos(1n23))\sum_{n=1}^{\infty} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{n^{\frac{2}{3}}} \right)}\right)
Sum(1 - cos(1/(n^(2/3))), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
1cos(1n23)1 - \cos{\left(\frac{1}{n^{\frac{2}{3}}} \right)}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=1cos(1n23)a_{n} = 1 - \cos{\left(\frac{1}{n^{\frac{2}{3}}} \right)}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limncos(1n23)1cos(1(n+1)23)11 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\cos{\left(\frac{1}{n^{\frac{2}{3}}} \right)} - 1}{\cos{\left(\frac{1}{\left(n + 1\right)^{\frac{2}{3}}} \right)} - 1}}\right|
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.50.01.0
Respuesta [src]
  oo                 
____                 
\   `                
 \    /       / 1  \\
  \   |1 - cos|----||
  /   |       | 2/3||
 /    \       \n   //
/___,                
n = 1                
n=1(1cos(1n23))\sum_{n=1}^{\infty} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{n^{\frac{2}{3}}} \right)}\right)
Sum(1 - cos(n^(-2/3)), (n, 1, oo))
Respuesta numérica [src]
1.74843892833825627707688599552
1.74843892833825627707688599552
Gráfico
Suma de la serie 1-cos(1/(n^(2/3)))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie