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Suma de la serie/ (arcsin(x)/x)^ctg(x)

Suma de la serie (arcsin(x)/x)^ctg(x)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                 
____                 
\   `                
 \             cot(x)
  \   /asin(x)\      
  /   |-------|      
 /    \   x   /      
/___,                
n = 1
∑n=1∞(asin⁡(x)x)cot⁡(x)\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x}\right)^{\cot{\left(x \right)}} 
Sum((asin(x)/x)^cot(x), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
(asin⁡(x)x)cot⁡(x)\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x}\right)^{\cot{\left(x \right)}}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=(asin⁡(x)x)cot⁡(x)a_{n} = \left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x}\right)^{\cot{\left(x \right)}}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞11 = \lim_{n \to \infty} 1
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Respuesta [src] 
            cot(x)
   /asin(x)\      
oo*|-------|      
   \   x   /
∞(asin⁡(x)x)cot⁡(x)\infty \left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x}\right)^{\cot{\left(x \right)}} 
oo*(asin(x)/x)^cot(x)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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