Sr Examen

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arctg(1/(2nn))

Suma de la serie arctg(1/(2nn))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo             
 ___             
 \  `            
  \       /  1  \
   )  atan|-----|
  /       \2*n*n/
 /__,            
n = 1            
$$\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{n 2 n} \right)}$$
Sum(atan(1/((2*n)*n)), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{n 2 n} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2 n^{2}} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2 n^{2}} \right)}}{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2 \left(n + 1\right)^{2}} \right)}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo            
____            
\   `           
 \        / 1  \
  \   atan|----|
  /       |   2|
 /        \2*n /
/___,           
n = 1           
$$\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2 n^{2}} \right)}$$
Sum(atan(1/(2*n^2)), (n, 1, oo))
Respuesta numérica [src]
0.785398163397448309615660845820
0.785398163397448309615660845820
Gráfico
Suma de la serie arctg(1/(2nn))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie